Optimal Trading Strategia Con Ottimali Orizzonte Pdf

strategia ottimale di trading per un investitore: il caso delle informazioni parziali Peter Lakner Dipartimento di Statistica e Ricerca Operativa New York University, 44 W. 4th St. New York, NY 10012, USA ha ricevuto 22 maggio 1997. Rivisto l'8 aprile 1998. Accettate 10 aprile 1998. Disponibile online il 22 novembre 1998. Noi affrontare qui il problema di ottimizzazione di un investitore che vuole massimizzare l'utilità attesa dalla ricchezza terminale. La novità di questo lavoro è che il processo di deriva e di guida moto browniano che compare nella equazione differenziale stocastica per i prezzi di sicurezza non vengono considerati osservabile per gli investitori nel mercato. Gli investitori osservano prezzi dei titoli e tassi di interesse solo. Il processo di deriva viene modellato da un processo gaussiano, che in un caso speciale diventa un processo OrnsteinUhlenbeck medio-ritornando multidimensionale. Il risultato principale della carta è una rappresentazione esplicita per la strategia di negoziazione ottimale per una vasta gamma di funzioni di utilità. prezzi dei titoli di funzioni di utilità e le loro filtrazione Trading strategia di ottimizzazione di pendenza Clarks operatore Formula 1 Introduzione In questo articolo si risolve un problema di massimizzazione dell'utilità di un investitore che vuole massimizzare l'utilità attesa dal terminal value del portafoglio hisher sull'intervallo di tempo finito 0, T . Partiamo dal presupposto che ci sono N titoli rischiosi (S 1 (t) ,, S N (t)) disponibili sul mercato le cui dinamiche sono date da Eq. (2.1). e vi è un tasso di interesse fisso r. Questo problema è stato ampiamente studiato, per esempio Cox e Huang (1989). Cox et al. (1985). Duffie e Zame (1989). Heand Pearson (1991). Karatzas et al. 1991. Karatzas et al. Del 1987 o Ocone e Karatzas (1991). La particolarità di questo lavoro è che non ci assumiamo che gli investitori possono osservare il t processo di deriva e il moto browniano che compare nella equazione differenziale stocastica per i prezzi di sicurezza. Chiameremo questa situazione il caso di informazioni parziali per distinguerlo dal caso di informazioni complete studiate nei documenti di cui sopra. Chiaramente, è più realistico supporre che gli investitori hanno informazioni solo parziali poiché i prezzi ei tassi di interesse sono pubblicati e disponibili al pubblico, ma derive e percorsi di moti browniani sono semplici strumenti matematici per la creazione del modello, ma certamente non osservabile. Il fatto che gli investitori hanno informazioni solo parziale sarà modellato richiedendo che le strategie di trading sono atti alla filtrazione generata dai prezzi di sicurezza, che è più piccola della filtrazione originale. Il problema delle informazioni parziali stato discusso già Lakner (1995) in cui formula è stata presentata per il livello ottimale di ricchezza terminale, ed è stato dimostrato l'esistenza di una corrispondente strategia commerciale. L'obiettivo principale del presente lavoro è quello di lavorare fuori formula esplicita per la strategia di trading ottimale pure. Il processo di deriva sarà un processo gaussiano modellato da un sistema di equazioni differenziali stocastiche lineari dove il moto browniano guida è indipendente da quello che appare nell'equazione per i prezzi di sicurezza, e in un caso speciale diventa un processo OrnsteinUhlenbeck multidimensionale con mean-reverting deriva. La formula per la strategia di trading ottimale comporterà il processo m t, che è l'aspettativa condizionale della deriva t date le informazioni disponibili. Due esempi specifici saranno elaborati, uno per la logaritmica e l'altro per la funzione di utilità alimentazione. Con la funzione di utilità logaritmica strategia commerciale ottimale può essere scritto in un modulo di feedback che può essere formalmente derivato dalla formula corrispondente nel caso informazioni complete sostituendo m per. Tuttavia, sarà mostrato che con l'utilità potere funzionare la sostituzione formale m per il modulo di feedback della strategia commerciale ottimale in caso informazioni complete non produce la formula corretta per la strategia commerciale ottimale nel caso informazioni parziali. (Vedi anche Browne e Whitt (1996), ad esempio simile in un modello di tempo discreto.) Si possono trovare le relative informazioni aggiuntive in Gennote (1986). Dothan e Feldman (1986). Detemple (1991). e nella tesi di Honda (1998). Il calcolo della strategia di trading ottimale equivale sostanzialmente di trovare l'integrando nella rappresentazione integrale stocastico della ricchezza del terminale ottimale. La tecnica utilizzata prevede l'operatore gradiente D. come in Ocone e Karatzas (1991). in cui la strategia ottimale in commercio informazioni completa è calcolata utilizzando la stessa tecnica. Stiamo usando quella carta come la nostra base di riferimento per informazioni sull'operatore di gradiente. La strategia di trading ottimale è stato elaborato per il caso Bayesean da Browne e Whitt (1996) per l'utilità logaritmica, e Lakner (1994) per le funzioni di utilità generale. La parola Bayesean qui significa che è una variabile casuale non osservata con una distribuzione a priori nota. Il contenuto organizzazione e di base della carta è il seguente. Nella sezione 2 si descrive il modello di mercato e richiamare la formula generale per la ricchezza del terminale ottimale. Questo comporta un processo che è atteso condizionato della derivata RadonNicodym della misura martingala rispetto alla misura di probabilità iniziale. Nella sezione 3 si dimostra che soddisfa una equazione differenziale stocastica che produce una rappresentazione esplicita per t. Questo sarà ora comporterà il suddetto atteso condizionato m t della deriva t date le informazioni disponibili. Nella sezione 4 si precisa la dinamica di t che ci permette di calcolare m t utilizzando il noto filtro KalmanBucy. Avanti il ​​teorema principale si afferma, che presenta la nostra formula per la strategia di trading ottimale. Questa formula coinvolge i processi precedentemente descritti e m e la deterministica funzione di covarianza condizionale di t. Siamo specializzati la formula per la strategia di trading ottimale per l'logaritmica e le funzioni di utilità di potenza. Nella sezione 5 sarà presentato la dimostrazione del teorema principale. La prova stessa sarà suddiviso a diversi lemmi. L'appendice contiene la prova di un lemma e una proposta nella sezione 4. 2 Il modello Lasciate Essere uno spazio completo di probabilità filtrata con una T GT0 terminaltime fisso. Ci sono N titoli rischiosi in questo spazio con il processo prezzo dimensionale N (l'asterisco indica trasposizione). La dinamica di questi processi sono determinati dal sistema di equazioni differenziali stocastiche Nell'equazione sopra la deriva è adattato misurabile processo dimensionale, N tale che, quando è la norma euclidea. Il processo è un - dimensionale moto browniano N, ed i (ij), j 1, N è una matrice non singolare di costanti. Sia r un tasso di interesse costante deterministico. Supponiamo che i prezzi iniziali sono costanti positive deterministici. Sia la filtrazione aumentata generato dal processo prezzo S. In questo articolo vedremo dal presupposto che solo i processi - adapted sono osservabili, così gli agenti in questo mercato non osservano il moto browniano w (1) e il processo di deriva. La costante di tasso di interesse r. il prezzo iniziale vettore S 0 e la matrice di volatilità sono noti a tutti gli agenti che agiscono sul mercato. Noi definire la martingala locale positivo dall'equazione dove è il vettore dimensionale N con tutte le voci uguale a 1. (2,3) e (2,4) hanno l'unica soluzione Assunzione 2.1. Noi supponiamo che Z è una martingala. Successivo definiremo una strategia di trading per un agente che agisce in questo mercato. Lascia che i (t) la quantità di denaro investito nel esimo sicurezza al tempo t. Definizione 2.2. Una strategia di trading è un - dimensionale, misurabile, processo - adapted N tale che Sottolineiamo che una strategia di trading è necessario per essere - adapted, gli investitori in tal modo infatti osservare i prezzi di sicurezza, non il deriva o il moto browniano w (1). Sia X t essere la ricchezza al tempo t di un agente che segue la strategia di trading. La ricchezza iniziale X 0 x 0 è una costante deterministico. Il processo si presume di evolvere in funzione delle dinamiche regola Itos implica che la ricchezza e scontato rt X t ha la forma da Girsanovs Teorema e Assunzione 2.1, il processo dimensionale N è un moto browniano sotto la misura di probabilità P dove Indichiamo dal operatore aspettativa corrispondente alla misura P. Definizione 2.3. Una strategia di trading si chiama ammissibile se X t 0, a. s. t 0, T. Definizione 2.4. Una funzione viene chiamata una funzione di utilità se è continua, strettamente crescente, strettamente concava sul suo campo, continuamente differenziabile in (0,) con funzione derivata U () che soddisfano la relazione nostro problema di ottimizzazione è quello di massimizzare l'utilità attesa dalla ricchezza terminale, vale a dire, più di tutte le strategie di trading ammissibili. Definiamo il processo di ritorno - dimensional N da così abbiamo i seguenti scomposizioni per il processo di ritorno: relazioni (2.12) e (2.14) implicano che S. R. e w ogni generare la stessa filtrazione. Così è continua (Karatzas e Shreve, 1988. Corollario 2.7.8). Cerchiamo di essere la proiezione facoltativa della Z - martingale P, in modo Notiamo che è una martingala rispetto a, e per ogni - measurable V variabile casuale. - measurable variabile casuale Y. e - measurable variabile casuale W con 0 t u t L'ultima identità implica che 1 è un - martingale. Poiché è generata da w. così 1. e anche . deve essere continua. Sia la funzione la funzione pseudo inversa del derivato strettamente decrescente della funzione di utilità La funzione sopra definito I diventa effettivamente la funzione inversa di U se lim x 0 U (x). Tuttavia, non abbiamo fatto questa ipotesi. Ricordiamo il seguente teorema da Lakner (1995). Teorema 2.5. Supponiamo che per ogni x costanti (0), allora il livello ottimale di ricchezza terminale è dove la costante y viene determinato unicamente dal ottimale processo ricchezza X e la strategia di trading è implicitamente determinato da 3 rappresentazione esplicita del ottimale livello di ricchezza terminale Formula ( 2.21) per il livello ottimale di ricchezza terminale comporta la T variabile casuale e noi trovare un modo per calcolare in questa sezione. Introduciamo vettore e covarianza condizionata matrice medio di t con la comprensione che i processi M e sono versioni misurabili delle aspettative condizionali appropriate. Il risultato per la rappresentazione di t sarà formulata nel seguente teorema. e N - dimensionale processo m è continuo. Quindi il processo 1 soddisfa l'equazione differenziale stocastica e abbiamo la rappresentazione e questa ultima espressione è quasi certamente finito a causa della continuità di me. Ora (3.7) e (3.8) implica che dall'equazione. (2.17) il lato sinistro di quest'ultimo identità è uguale a 1 t. e (2.17) e (3.1) sul lato destro è uguale così Eq. (3.4) segue. Identità (3.5) è una conseguenza ovvia di Eq. (3.4). così la nostra prova è completa. Ora Eq. (3.5) rappresenta una formula per. ma non è ancora abbastanza esplicito perché coinvolge il processo di m per il quale ancora non abbiamo una rappresentazione computabile. Possiamo dire di più su m solo se specifichiamo la dinamica della deriva. e questo sarà fatto nel prossimo paragrafo. 4 formula esplicita per la strategia di trading ottimale per il resto di questo articolo assumeremo che il processo di deriva dimensionale N è la soluzione dell'equazione differenziale stocastica dove w (2) è un moto browniano - dimensionale N per quanto riguarda, indipendentemente w (1) sotto P. e sono noti matrici di numeri reali, ed è un noto N dimensionale vettore di numeri reali. Noi assumiamo che sia invertibile, e che segue un 0 N - dimensionale distribuzione normale con media vettore m 0 e la matrice di covarianza 0. Il vettore m 0 e la matrice di 0 si presume essere noto a tutti gli agenti del mercato. Notiamo che, se è una matrice diagonale con le voci positive in diagonale, poi sarà un processo OrnsteinUhlenbeck - dimensionale N con drift media-ritornare. Faremo anche dal presupposto che tr (0) e sono piccole. Per essere più rigoroso, assumeremo che Assunzione (4.2) significa approssimativamente che le varianze dei componenti della deriva t sono piccole rispetto alle varianze dei componenti del processo di ritorno R. che è definita in (2.12) e (2.13) (vedi (A.5) in appendice per la matrice di covarianza t). Notiamo che, se è una matrice simmetrica positiva semidefinita quindi K N perché in tal caso possiamo scrivere in forma, dove T è una matrice ortogonale ed è diagonale con le voci non negativi 1 ,, N in diagonale. Ora, usando elementare algebra matrice possiamo calcolare Lemma 4.1. Con il processo di cui sopra deriva specificato. Assunzione 2.1. è soddisfatto. Inoltre, Rimandiamo la prova per l'appendice. Siamo in grado di utilizzare il processo di ritorno R di (2.12) come il processo di osservazione in quanto genera lo stesso filtrazione come il processo prezzo richiesto. Se lo facciamo allora siamo nel quadro del filtro KalmanBucy classica. È ben noto (Liptser e Shiryayev I, 1977. Teorema 10.3) che m è la soluzione - measurable unica del sistema lineare di equazioni differenziali stocastiche (4,6), ed è l'unica soluzione dell'equazione Riccati deterministica (4.7) con iniziale condizione (m 0, 0). Segue (e anche noto) che la matrice di covarianza condizionale (t) è deterministico. Nel caso in cui N GT1 non abbiamo una formula esplicita per. Tuttavia, in termini di possiamo risolvere per la media condizionale m nel modo seguente. Lasciate che la soluzione fondamentale del sistema deterministico cioè è una funzione a valori N N - matrix soddisfare (4.8) con la condizione iniziale (0) è la matrice identità N N. Poi m t è determinato in termini di e come Osservazione 4.2. È noto che se N 1 allora l'equazione Riccati (4.7) ha una soluzione esplicita. Eq. (4.7) diventa la strategia di trading ottimale per questa funzione di utilità sotto informazioni completo è (Ocone e Karatzas, 1991. formula (4.22)), e la nostra formula (4.31) per il caso di informazioni parziali, non possono essere derivati ​​da questo sostituendo m per a causa delle ulteriori non-zero t termine G in Eq. (4.31). Si può trovare il LT0 vincolo in Eq. (4.28) troppo restrittiva. Il problema con le funzioni di utilità potere con positivo è che essi non soddisfano (4.18) e (4.19). Nel prossimo proposizione si supera questo problema rafforzando Eq. (4.2). e K è dato in Eq. (4.4). Poi per la funzione di utilità potere della forma (4.28) con 0LT. formule (4.31) e (4.32) ancora producono la strategia di trading ottimale. Rimandiamo la prova di questa proposizione per l'appendice. Ora sappiamo che (4.31) e (4.32) dà la strategia di trading ottimale per tutti (e per qualsiasi LT1 0LT finché la condizione (4.33) è soddisfatta. Notiamo che se allora dove I 1 (x) 1 x. Il funzione inversa di U 1, così uno può intuitivamente si aspettano che modo la strategia di trading ottimale per la funzione di utilità U 2 converge alla strategia ottimale per l'utilità logaritmica U 1. Questo è davvero il caso. Abbiamo bisogno di mostrare solo che l'aspettativa condizionale nella definizione di G t converge a zero quasi sicuramente. Tuttavia, questo risulta dalla convergenza Teorema dominato per aspettative condizionali, perché se poi 1,0 Ciò implica che per il quale ha aspettativa finita sotto P da titolari disuguaglianza e Proposizione 4.1, e ( 4.35) segue ora. 5 dimostrazione del Teorema 4.3 la tecnica principale in questa prova è l'uso del operatore gradiente D agisce sul sottoinsieme della classe di funzionali di chiamata D 1,1. Per le definizioni esatte dello spazio D 1, 1 e l'operatore D si fa riferimento a Ocone e Karatzas (1991) e Shigekawa (1980). Useremo la versione generalizzata di Clarks formula (Karatzas et al. 1991), che garantisce che per ogni variabile casuale A D 1,1 abbiamo la rappresentazione integrale stocastico Per un N-dimensionale variabile aleatoria A (D 1,1) N. definiamo DA come (N N) matrice dimensionale di componenti Il seguente lemma enuncia condizioni in cui l'operatore gradiente D e l'ordinario integrante di Lebesgue sono scambiabili. Inoltre . supponiamo che resta (o destro) continua per quasi tutti. Allora e per brevità omettiamo la prova. Abbiamo gettato il condizionale m u media di Eq. (4.9) nella forma dove () è la soluzione fondamentale del sistema (4.8). Prova. Identità (5.13) segue da Lemmi 5.1 e 5.3. Identità (5.14) segue dalla Proposizione 2.3 di Ocone e Karatzas (1991), una volta verifichiamo che il processo è un membro della classe che è definito in questo documento (pp. 190, 191). Condizione (i) di tale definizione si traduce in Eq. (5.10). La condizione (ii) segue da destra continuità (vedi (5.3) e (5.11)). La condizione (iii) segue da (5.4) e (5.11). e Eq. (5.3). Lemma 5.5. Abbiamo le seguenti relazioni: Proof. Il lato sinistro della prima diseguaglianza può essere scritto come e dall'Eq. (5.4) è sufficiente a dimostrare che Tuttavia, questo risulta dall'eq. (5.3) e alcuni calcoli elementari che coinvolgono il quarto momento della distribuzione normale. La seconda disuguaglianza nella Eq. (5.15) è una conseguenza facile (5.13). (5.3) e (5.4) e alcuni calcoli semplici. Sappiamo già da Lemma 5.4 che V 1 e V 2 sono in D 1,1. quindi dobbiamo mostrare solo la condizione del Lemma A1 di Ocone e Karatzas (1991). che nel nostro caso diventa il primo diseguaglianza segue dal Lemma 4.1, e il secondo è una conseguenza di titolari e Jensens disuguaglianze, Lemma 4.1, e Eq. (5.15). Ora siamo pronti a dimostrare il teorema 4.3. Stiamo andando a dimostrare che per ogni x (0,) Entrambe le relazioni seguono da Ocone e Karatzas, Lemma A1, a condizione che le condizioni siano soddisfatte. La seconda disuguaglianza è una conseguenza di assunzione (4.18) e Lemma 4.1. Il lato sinistro della prima disuguaglianza in Eq. (5,20) diventa da (5.17). (5.14). (5.13) e (4.19) Entrambi i termini in ultima espressione sono finiti da Eq. (5.15). Supporti e Jensens disuguaglianze, e Lemma 4.1. Ora possiamo ricavare la formula (4.20) per la strategia di trading ottimale algebra lineare, mettendo insieme (2.23). (5.1). (5.19). (5.17). (5.3) e (4.17). che completa la dimostrazione del teorema. Ringraziamenti L'autore è in debito con Stanley R. Pliska per le discussioni fruttuose circa l'argomento di questo articolo. Grazie sono dovuti a un anonimo referee per hisher osservazioni preziose anche. Parte di questa ricerca è stata effettuata mentre l'autore era in visita il Newton Istituto Isaac per le scienze matematiche. La loro ospitalità è molto apprezzato. Appendice A ci accingiamo a dimostrare Lemma 4.1 attraverso altri due lemmi. Prova. Notiamo che Z è una martingala locale positivo, così da Lemma di Fatou è un supermartingale. Pertanto, si può supporre, senza perdita di generalità che LT0 o GT1, perché altrimenti segue dalla proprietà supermartingale per Z. Dai titolari di disuguaglianza e Eq. (2.5) Il primo fattore in ultima espressione è finita, perché il processo è di nuovo una martingala locale positivo così un supermartingale. La piazza del secondo fattore è delimitata da e per Disuguaglianza di Jensen questo è delimitata da volte moltiplicatore costante il lato sinistro della Eq. (A.1). che completa la dimostrazione del lemma. Lemma A.2. Supponiamo che è un numero reale tale strategia Trading thatOptimal positiva con Optimal Horizon Edward E. Qian PanAgora Asset Management Journal Of Investment Management (JOIM), terzo trimestre 2008 Abstract: implementazione del portafoglio è una parte essenziale delle strategie di investimento attive. Il commercio di orizzonte il periodo di tempo assegnato per l'attuazione del commercio, è una considerazione importante nel commercio portafoglio. Precedenti ricerche sullo scambio ottimale limita l'orizzonte trading come un valore fisso. In questo lavoro, lo trattiamo come un fattore endogeno e troviamo l'orizzonte di scambio ottimale come parte della strategia di trading ottimale per ridurre ulteriormente i costi di negoziazione. Deriviamo risultati analitici per strategia di trading ottimale con orizzonte ottimale e fornire esempi numerici per l'illustrazione. Parole chiave: commercio ottimale, orizzonte trading, gestione del portafoglio Classificazione JEL: G00 data: 7 Ottobre 2008 Ultima revisione: 19 Ottobre 2010 consigliata Citation Qian, Edward E. Trading strategia ottimale con Optimal Horizon (6 ottobre 2008). Journal of Investment Management (JOIM), terzo trimestre 2008. Disponibile all'indirizzo SSRN: ssrnabstract1279701 Recapiti Edward E. Qian (Contact Author) PanAgora Asset Management (e-mail) 470 Atlantic Avenue, 8th Floor Boston, MA 02210 Stati Uniti 617-439-6327 (telefono) ottimale strategia di trading e supplydemand dinamiche Anna A. Obizhaeva una, 1. Jiang Wang b, c, d ,. un Robert H. Smith School of Business, University of Maryland, 4428 Van Munching Hall, College Park, MD 20742, USA b Sloan School of Management, MIT, 100 Main Street, Cambridge, MA 02142, Stati Uniti d'America c CAFR, Cina d NBER, USA ricevuto 28 luglio 2012. Disponibile online il 12 settembre 2012. In questo lavoro, studiamo come il supplydemand intertemporale di una sicurezza interessa strategia di trading. Sviluppiamo un quadro generale per un mercato del libro ordine limite di cogliere le dinamiche di supplydemand. Abbiamo dimostrato che la strategia ottimale per eseguire un ordine non dipende dalle proprietà statiche di supplydemand quali bidask diffusione e profondità del mercato, che dipende dalle loro proprietà dinamiche, come resilienza: la velocità alla quale supplydemand recupera per il regime permanente dopo un commercio . In generale, la strategia ottimale è piuttosto complessa, mescolando grandi e piccoli commerci, e può costo di esecuzione notevolmente inferiore. Grandi operazioni rimuovere la liquidità esistente per attirare nuova liquidità, mentre i piccoli commerci permettono al trader di assorbire ulteriormente qualsiasi flusso di liquidità in entrata. Liquidità degli scambi esecuzione degli ordini ottimale ordine con limite di libro Classificazione JEL 1 Introduzione Il supplydemand dei titoli finanziari è, in generale, non è perfettamente elastico. 2 Quale strategia di trading è ottimale in un mercato con supplydemand limitato o liquidità che modo i diversi aspetti della supplydemand influenzano la strategia ottimale Come significativi risparmi sui costi sono dai commercianti strategia di trading ottimali faccia queste domande ogni volta che essi commercio. Le risposte a queste domande sono quindi essenziali per la nostra comprensione di come i partecipanti al mercato si comportano, come la liquidità è fornito e consumato, come influisce prezzi dei titoli, e più in generale, di come funzionano i mercati dei valori mobiliari. Ci avviciniamo a questo problema, concentrandosi sulla strategia ottimale di un commerciante che deve eseguire un ordine in un determinato periodo di tempo. 3 Questo problema è indicato anche come il problema esecuzione ottimale. 4 impieghi precedenti ha fornito preziose informazioni su come liquidità influenza il comportamento commerciale degli operatori di mercato (ad esempio Bertsimas e Lo, 1998. Almgren e Chriss 1999 e Huberman e Stanzl, 2005). Questa letteratura tende a vedere supplydemand come un oggetto statico quando si analizza il loro effetto sulle strategie di trading ottimali. In particolare, descrive la domanda o la fornitura di un titolo di fronte ad un'ampia commercio (a seconda del segno) specificando una funzione di prezzo istantanea impatto (cioè un calendario demandsupply tempo-insensitive). Liquidità è, tuttavia, dinamico per sua natura. Il nostro contributo è quello di dimostrare che è le proprietà dinamiche di supplydemand come la sua evoluzione nel tempo dopo commerci, piuttosto che le sue proprietà statiche, come la diffusione e la profondità, che sono centrali per il costo delle negoziazioni e la progettazione di strategia ottimale. Vi proponiamo un quadro generale per modellare la dinamica di supplydemand. Consideriamo un mercato portafoglio ordini limite, in cui il supplydemand di un titolo è rappresentato dagli ordini limite pubblicati sul libro e commercio si verifica quando acquisto e in vendita partita. Descriviamo la forma del portafoglio ordini limite e soprattutto come si evolve nel corso del tempo per catturare la natura intertemporale di supplydemand che una grande trader deve affrontare. Abbiamo scelto di concentrarsi sul mercato portafoglio ordini limite solo per convenienza. Il nostro obiettivo principale è quello di dimostrare l'importanza delle dinamiche supplydemand nel determinare la strategia di trading ottimale, e le nostre conclusioni principali restano applicabili ad altre strutture di mercato. Il nostro modello incorpora esplicitamente tre caratteristiche fondamentali di liquidità documentati empiricamente: spread bidask, profondità del mercato, e la resilienza. Le prime due caratteristiche bidask diffuse e profondità del mercato cogliere gli aspetti statici di liquidità. Esse sono legate alla forma del portafoglio ordini limite, che determina quanto l'attuale prezzo si muove in risposta ad un commercio. Bidask diffusione e la profondità del mercato, pertanto sono fondamentali per determinare il costo dell'operazione è che il commerciante è soggetto al momento l'esecuzione dei suoi commerci istantaneamente. La terza caratteristica resilienza riflette l'aspetto dinamico della liquidità. La resilienza è correlato al modo in futuro limit-order book si evolve in risposta al commercio corrente. Partiamo dal presupposto che l'impatto prezzo iniziale dissipa gradualmente nel tempo come nuovi fornitori di liquidità intervenire per ricostituire il libro. I più lontano le quotazioni attuali sono da livelli di stato stazionario, i fornitori di liquidità più aggressivi inviare nuovi ordini. Abbiamo dimostrato che la strategia ottimale dipende in modo cruciale dalle proprietà dinamiche del portafoglio ordini limite. La strategia consiste di un commercio iniziale grande, seguito da una sequenza di piccoli commerci, e un commercio discreta finale per completare l'ordine. La combinazione di grandi e piccoli mestieri per la strategia di esecuzione ottimale è in netto contrasto con le semplici strategie di suddivisione di un ordine in modo uniforme in piccoli commerci, come suggerito in studi precedenti (ad esempio Bertsimas e Lo, 1998 e Almgren e Chriss, 1999). L'intuizione dietro il tipo di commercio complesso è semplice. Il commercio iniziale di grandi dimensioni ha lo scopo di spingere il portafoglio ordini limite di distanza dal suo stato stazionario al fine di ottenere nuove fornitori di liquidità. La dimensione del grande commercio è scelto in modo ottimale per disegnare numero sufficiente di ordini mentre non incorrere in costi troppo elevati transazione. I successivi piccoli commerci poi far fuori gli ordini in arrivo e mantenere l'afflusso a prezzi desiderabili. Un commercio discreto finale finisce qualsiasi ordine che rimane alla fine dell'orizzonte di trading, quando il futuro demandsupply non è più di preoccupazione. Sorprendentemente, la strategia ottimale e il risparmio dipendono principalmente le proprietà dinamiche del supplydemand e non è molto sensibile alle loro proprietà statiche descritte da istantanea funzione di prezzo-impatto, che è stato al centro principale di lavoro precedente. In particolare, la velocità con cui il libro ordine limite si ricostruisce dopo essere stato colpito da un commercio, vale a dire la capacità di tenuta del libro o il suo tasso Replenish, svolge un ruolo critico nel determinare la strategia di esecuzione ottimale e il costo si salva. Inoltre, troviamo che il risparmio sui costi della strategia di esecuzione ottimale possono essere notevoli. Come esempio, si consideri l'esecuzione di un ordine di dimensioni 20 volte la profondità mercato entro un orizzonte di un giorno. Sotto la formulazione di funzione supplydemand statica in Bertsimas e Lo (1998) e Almgren e Chriss (1999). la strategia proposta è diffondere l'ordine uniformemente nel tempo. Tuttavia, quando si prende in considerazione le dinamiche di supplydemand, in particolare il primo tempo per il libro limite per recuperare dopo essere stato colpito da traffici, il costo esecuzione dell'ordine sotto la strategia ottimale è inferiore alla strategia ancora. Ad esempio, se il tempo di dimezzamento per il libro di recuperare è 0,90 minuti, che è relativamente breve, il risparmio è 0.33. Diventa 1.88 quando l'emivita di recupero è 5,40 minuti e 7.41 quando l'emivita di recupero è 27.03 minuti. Chiaramente, risparmio sui costi aumentano e diventano sostanziale quando il tempo aumenta libri di recupero. Molti autori hanno studiato il problema di esecuzione ottimale dell'ordine. Ad esempio, Bertsimas e Lo (1998) propongono una funzione di impatto prezzo lineare e risolvere per la strategia di esecuzione ottimale per minimizzare il costo previsto di realizzare l'ordine. Almgren e Chriss 1999 e Almgren e Chriss 2000 comprendono considerazioni di rischio in un contesto simile. 5 Lo schema utilizzato in questi studi si basa su funzioni di impatto prezzo statico ad una serie di tempi di negoziazione fisse. Fissaggio tempi di negoziazione è chiaramente indesiderabile perché il momento degli scambi è una variabile scelta importante e deve essere determinato in modo ottimale. Ancora più importante, le funzioni di impatto prezzo statico pre-specificati non riescono a cogliere la natura intertemporale di supplydemand. Essi ignorano come il percorso dei mestieri influenza l'evoluzione futura del libro. Ad esempio, Bertsimas e Lo (1998) assumono una funzione di impatto prezzo statico lineare. Di conseguenza, l'impatto globale prezzo di una sequenza di scambi dipende solo dalla loro dimensione totale ed è indipendente dalla loro distribuzione nel tempo. Inoltre, il costo di esecuzione diventa strategia indipendente quando mestieri più frequenti sono ammessi. Almgren e Chriss 1999 e Almgren e Chriss, 2000 e Huberman e Stanzl (2005) introducono un impatto temporaneo dei prezzi come una modificazione, che dipende dal ritmo degli scambi. impatto temporaneo dei prezzi aggiunge un elemento dinamico per la funzione di impatto prezzo penalizzando commerci veloci. Questo approccio, tuttavia, limita la strategia di esecuzione di traffici continui, che in generale è sub-ottimale. Ciò che l'analisi precedente non cattura pienamente è come liquidità riempie sul mercato, così come il modo in cui interagisce con i commerci. Il nostro quadro descrive esplicitamente questo processo modellando direttamente le dinamiche del libro in un mercato portafoglio ordini limite, che, come si vedrà, è fondamentale nel determinare la strategia di esecuzione ottimale. 6 Oltre alla prova empirica, il comportamento dinamico del libro cerchiamo di cattura è anche coerente con i modelli di equilibrio dei mercati portafoglio ordini limite. L'idea di liquidità viene consumato da un mestiere e poi rifornito come fornitori di liquidità supplementari tentativo di trarre vantaggio è dietro la maggior parte di questi modelli. Ad esempio, Foucault (1999). Foucault, Kadan, e Kandel (2005). e Goettler, Parlour, e Rajan (2005) costruire modelli teorici di mercati del libro limite di ordine, che presentano livelli diversi, ma finiti di resilienza in equilibrio, a seconda delle caratteristiche dei partecipanti al mercato. 7 Il livello di resilienza riflette la quantità di liquidità nascosta nel mercato. Il nostro quadro permette di cogliere questo aspetto dinamico della supplydemand in modo flessibile e di esaminare la strategia di esecuzione ottimale in condizioni di mercato più realistiche. La nostra analisi è di equilibrio parziale in natura, prendendo la dinamica del portafoglio ordini limite come dato. Anche se noi non cerchiamo di fornire una giustificazione di equilibrio per le specifiche dinamiche portafoglio ordini limite utilizzati per la carta, la nostra struttura permette dinamiche più generali. Nella ricerca di follow-up, diversi autori hanno utilizzato questo quadro di incorporare il comportamento libro più ricco. Ad esempio, Alfonsi et al. (2010) considerano generale, ma forme continue del portafoglio ordini limite e Predoiu, Shaikhet, e Shreve (2010) permettono ordini discrete e le dinamiche più generali. Endogenizing le dinamiche portafoglio ordini limite in un ambiente pieno di equilibrio è certamente auspicabile, ma impegnativo. modelli di equilibrio esistenti, come quelli di cui sopra, devono limitare severamente l'insieme delle strategie di ordine-posizionamento ammissibili. Ad esempio, Foucault, Kadan, e Kandel (2005). Rou, 2008 e Rou 2009 consentono solo ordini di una dimensione fissa e messa a fuoco Goettler, Parlour, e Rajan (2005) sulle strategie di one-shot. Queste semplificazioni sono utili per l'ottenimento di alcune proprietà semplici del libro, ma sono abbastanza restrittive quando si analizza la strategia di trading ottimale. Un modello più generale e realistico equilibrio deve consentire strategie generali. Da questo punto di vista, la nostra analisi, vale a dire risolvere la strategia di esecuzione ottimale in dinamica generale supplydemand, è un passo fondamentale in questa direzione. Il resto del lavoro è organizzato come segue. La sezione 2 afferma il problema esecuzione ottimale. Sezione 3 introduce un quadro portafoglio ordini limite. Sezione 4 mostra che l'impostazione convenzionale precedente lavoro può essere visto come un caso particolare del nostro quadro, coinvolgendo ipotesi irrealistiche e proprietà indesiderabili. Sezione 5 fornisce la soluzione per un problema nel tempo discreto. Sezione 6 fornisce la soluzione per un problema nel tempo continuo. Sezione 7 analizza le proprietà e risparmi sui costi di strategie ottimali. Sezione 8 discute estensioni. Sezione 9 conclude. Tutte le prove sono riportati in appendice. 2 Dichiarazione del problema Il problema che ci interessa è come un commerciante esegue in modo ottimale un determinato ordine. Diamo per scontato che il commerciante deve acquistare X 0 unità di un titolo per un periodo di tempo fisso. Supponiamo che il commerciante completa l'ordine nei traffici, a volte, dove e. Lasciate Indicare la dimensione commerciale per il commercio al tempo t n. Abbiamo poi avere una strategia per eseguire l'ordine è dato dal numero di contratti, l'insieme dei tempi per il commercio, e le dimensioni commerciali. Cerchiamo di indicare l'insieme di queste strategie: Qui, abbiamo ipotizzato che l'insieme strategia consiste di strategie di esecuzione con un numero finito di mestieri a volte discrete. Questo viene fatto solo per un facile confronto con il lavoro precedente. Più tardi abbiamo deciso di ampliare la strategia impostata per consentire un numero incalcolabile di commerci nel corso del tempo, nonché (sezione 6). Lasciate Indicare il prezzo medio di esecuzione per il commercio. Il commerciante sceglie la sua strategia di esecuzione in un determinato orizzonte di trading T per ridurre al minimo il costo totale previsto del suo acquisto: Questa funzione obiettivo implica che il trader risk-neutral si preoccupa solo il valore atteso, ma non l'incertezza del costo totale. In seguito, ci sarà ulteriormente integrare considerazioni di rischio (riportato al punto 8). È importante riconoscere che il prezzo di esecuzione per il commercio x n in generale dipenderà non solo su x n. la dimensione commerciale attuale, ma anche tutti i mestieri del passato. Tale dipendenza riflette due dimensioni l'impatto dei prezzi di negoziazione. In primo luogo, cambia le securitys supplydemand corrente. Ad esempio, dopo un acquisto di unità x del titolo al prezzo corrente di, il restante fornitura del titolo al solito diminuisce. In secondo luogo, un cambiamento supplydemand corrente può influenzare future supplydemand e quindi i costi per scambi futuri. In altre parole, l'effetto prezzo è determinato dalla piena dinamica di supplydemand in risposta ad un commercio. Al fine di specificare pienamente e risolvere il problema esecuzione ottimale, abbiamo quindi bisogno di modellare adeguatamente le dinamiche supplydemand. 3 limit order book e supplydemand dinamiche L'attuale supplydemand di un titolo e delle sue dinamiche dipendono dal processo di trading reale. Da diversi mercati, il processo di negoziazione varia in modo significativo, che vanno da un mercato specializzato, un mercato concessionario di un mercato elettronico centralizzato con un portafoglio ordini limite. In questo lavoro, si considera il mercato del libro ordine limite. Tuttavia, la nostra analisi è di carattere generale, e ci aspettiamo che i nostri risultati siano rilevanti per le altre strutture di mercato pure. 3.1 Limite portafoglio ordini Un ordine limite è un ordine di compravendita di un certo numero di azioni di un titolo ad un determinato prezzo. In un mercato che funzioni attraverso un portafoglio ordini limite (LOB), i commercianti di inviare le loro supplydemand sotto forma di ordini di limite ad un sistema di commercio elettronico. 8 A commercio si verifica quando un ordine, dire un ordine di acquisto, entra nel sistema al prezzo di un ordine opposto sul libro, in questo caso un ordine di vendita. La raccolta di tutti gli ordini inviati limite può essere visto come la domanda totale e l'offerta sul mercato. Sia la densità degli ordini limite di vendere a prezzo P. e lasciare che sia la densità degli ordini limite per acquistare a prezzo P. Il numero di ordini di vendita in un piccolo intervallo di prezzo è. In genere, abbiamo dove sono i migliori chiedere e l'offerta dei prezzi, rispettivamente. Definiamo dove V è il prezzo medio di preventivo e s è la diffusione bidask. Poi, e. Perché stiamo considerando l'esecuzione di un grosso ordine di acquisto, ci concentriamo sulla metà superiore della LPP e semplicemente cadere il pedice A. Al fine di modellare il costo di esecuzione per un grande ordine, abbiamo bisogno di specificare il LOB iniziale e come si evolve stati dopo colpita da una serie di buy mestieri. Lasciate che la LOB (la metà superiore di esso) al tempo t essere, dove F t denota il valore fondamentale della sicurezza e Z t rappresenta l'insieme di variabili di stato che possono influenzare il LOB, come scambi passati. Consideriamo qui un semplice modello per la LOB che cattura la sua natura dinamica. Questo modello permette di illustrare l'importanza delle dinamiche supplydemand per analizzare il problema esecuzione ottimale. Discutiamo qui di seguito come estendere questo modello per adattare meglio le dinamiche LOB empirici (sezione 8). Il fondamentale valore F t segue un moto browniano che riflette il fatto che, in assenza di ogni attività, il prezzo medio di citazione può cambiare a causa di notizie circa il valore fondamentale. Così, V t F t in assenza di ogni attività, con il destro e mantiene la stessa forma eccetto che il punto medio, V t. sta cambiando con F t. Per semplicità, supponiamo che l'unica serie di rilevanti variabili di stato Z t è la storia dei mestieri del passato, preceduto dalle parole. Al tempo 0, la metà citazione è con il destro e ha una densità semplice blocco-forma, in cui è l'iniziale proposta in vendita ed è una funzione di indicatore: In altre parole, q 0 è una funzione a gradino di P con un salto da zero a q al prezzo di chiedere. Pannello A di Fig. 1 mostra la forma del libro al tempo 0. Fig. 1. Il portafoglio ordini limite e le sue dinamiche. Questa figura illustra come il lato delle vendite del libro limite di ordine evolve nel tempo in risposta ad un buy commercio. Prima il commercio al momento, il libro limite ordine è completo al prezzo chiedere, che viene mostrato nel primo pannello da sinistra. Il commercio di dimensioni x 0 a 0 t mangia fuori gli ordini sul libro con i prezzi più bassi e spinge il prezzo fino a chiedere, come mostrato nel secondo pannello. Durante i seguenti periodi, i nuovi ordini arriveranno al prezzo richiesto A t. Questi ordini riempiono il libro e abbassare il prezzo di chiedere fino a questo prezzo converge al suo nuovo stato stazionario, come mostrato nell'ultimo pannello a destra. Per chiarezza, si assume che non ci sono gli shock fondamentali durante questo periodo. Ora consideriamo un buy commercio di dimensioni x 0 azioni al t 0. Il commercio sarà mangiare fuori tutte le proposte di vendita aventi prezzi da fino a, dove è data da Da questa formula, troviamo che il nuovo prezzo è chiedere. Il prezzo medio di esecuzione per il commercio x 0 è lineare nella dimensione del commercio ed è pari a. Così, la forma a blocchi della LPP è coerente con la funzione di impatto prezzo lineare assunto nella precedente lavoro. Questo è anche il motivo principale per cui abbiamo adottato questa specifica qui. Subito dopo il commercio, il portafoglio ordini limite è descritto come dove è il nuovo prezzo chiedere. Gli ordini a prezzi di seguito sono stati tutti eseguiti. The book is left with sell limit orders at prices above (including) . Panel B of Fig. 1 plots the limit order book right after the trade. 3.2 Limit order book dynamics We next specify how the LOB evolves over time after being hit by a trade. This amounts to describing how new sell limit orders arrive to fill the book. First, we need to specify the impact of the trade on the mid-quote price. Usually, the mid-quote price will be shifted up by the trade. We assume that the shift in the mid-quote price is linear in the size of the total trade. That is, where and corresponds to the permanent price impact of trade x 0 . If initial trade x 0 at t 0 is not followed by other trades and if there are no shocks to the fundamentals, then as time t goes to infinity, the limit order book eventually converges to its new steady state: where the new mid-quote and ask price . Next we need to specify how the limit-order book converges to its steady state. Note that right after the trade, the ask price is , while in the steady state it is . The difference between the two is . We assume that the limit-order book converges to its steady state exponentially, in the absence of new trades and changes in fundamental F t . and parameter corresponds to the convergence speed, which measures the resilience of the LOB. If we define D t being the deviation of current ask price A t from its steady state level , then Eqs. (5) and (6) imply that after a buy trade x 0 . the new sell limit orders will start coming into the book at the new ask price A t at the rate of . Thus, the further the current ask price is from its steady state, the more aggressively liquidity providers step in and post new orders to offer replenished liquidity. Panel C to Panel E in Fig. 1 illustrate the time evolution of the LOB after a buy trade. We can easily extend the LOB dynamics to allow multiple trades and shocks to the fundamental value. Let n ( t ) denote the number of trades during interval . Define a trading sequence with n ( t ) trades at times of size . Let X t be the remaining order to be executed at time t . before trading at time t occurs. We have and If is the total amount of purchase during , then the mid-quote V t at any time t is The ask price at any time t is and the limit order book is given by (5). The above description can be extended to include sell orders, which may occur in the meantime shifting the mid-quote V t . But if they are not predictable, we can simply omit them, as they will not affect our analysis. Before we go ahead with the LOB dynamics and examine its implications for execution strategy, several comments are in order. First, the key feature of the LOB is its finite resilience, which is captured by , the refresh rate of the book. This is motivated by a range of empirical evidence such as those documented in Biais, Hillion, and Spatt (1995). Hamao and Hasbrouck (1995). and Coppejans, Domowitz, and Madhavan (2004). tra gli altri. Second, although the LOB dynamics specified here is taken as given, without additional equilibrium justification, its qualitative behavior, namely, the finite resilience, is consistent with those obtained in simple equilibrium models of LOB markets considered by Foucault, Kadan, and Kandel (2005) and Goettler, Parlou, and Rajan (2005) . 9 Third, existing equilibrium models are inadequate for analyzing the problem of execution as they limit the admissible strategies severely by restricting trade size and frequency. Thus, in order to develop a full equilibrium model for the execution problem, we first need to know its solution under general demandsupply dynamics and then arrive at equilibrium dynamics. From this point of view, this paper focuses on the first part of this undertaking. Fourth, our setting is very flexible in allowing an arbitrary shape of the book and rich dynamics for its time evolution in response to an arbitrary set of trades. Since the main goal of this paper is to demonstrate the importance of supplydemand dynamics in determining the optimal trading behavior rather than obtaining a general solution to the problem, we narrow down our analysis to a specific case of the general setting. The qualitative conclusions we obtain from the simple case remain robust when more general forms of the book and its dynamics are allowed, as follow-up research has shown (e. g. Alfonsi et al. 2010 ). 3.3 Execution cost Given the LOB dynamics, we can describe the total cost of an execution strategy for a given order X 0 . Let denote the trade at time t n . and denote the ask price at time t n prior to this trade. Since the evolution of the ask price A t in (10) is not continuous, we denote by A t the left limit of A t . , i. e. the ask price before the trade at time t . The same convention is followed for V t as well. The cost for a single trade is then given by For the block-shaped LOB given in (5). we have and The total cost of trades of size , , is . Thus, the optimal execution problem (3) is reduced to under the LOB dynamics given in (9) and (10) . 4 Conventional models as a special case Previous work on the optimal execution strategy usually uses a discrete-time setting with fixed time intervals (e. g. Bertsimas and Lo, 1998. Almgren and Chriss, 1999 and Almgren and Chriss, 2000 ). Such a setting, however, avoids the question of how to determine the optimal trading times. In this section, we show that it represents a special case of our framework with specific restrictions on the LOB dynamics, which lead to crucial limitations. 4.1 Conventional setup We first consider a simple discrete-time setting proposed by Bertsimas and Lo (1998). which captures the basic features of the models used in earlier work. In such a setting, the trader trades at fixed equally spaced time intervals, , where and , while trading horizon T and the number of trades N are given. Each trade has an impact on the price, which will affect the total cost of the trade and all future trades. Most models assume a linear price-impact function of the following form: where the subscript n denotes the n - th trade at , is the average price at which trade x n is executed with , is the price impact coefficient, and u n is an i. i.d. random variable with a mean of zero and a variance of . These assumptions are reasonable given the conclusion of Huberman and Stanzl (2004) that in the absence of quasi-arbitrage, permanent price-impact functions must be linear. In the second equation, we have set . Parameter captures the permanent price impact of a trade. The trader wishing to execute an order of size X 0 solves the following problem: where is defined in (15) and X n is a number of shares left to be acquired at time t n (before trade ) with . As shown in Bertsimas and Lo (1998). given that the objective function is quadratic in x n . it is optimal for the trader to split his order into small trades of equal sizes and execute them at regular intervals over the fixed period of time: 4.2 The continuous-time limit Although the discrete-time setting with a linear price impact function gives a simple and intuitive solution, it leaves a key question unanswered, namely, what determines the time-interval between trades. An intuitive way to address this question is to take the continuous-time limit of the discrete-time solution (i. e. to let N go to infinity). However, as Huberman and Stanzl (2005) point out, the solution to the discrete-time model (16) does not have a well-defined continuous-time limit. In fact, as , the cost of the trades as given in (16) approaches the following limit of: This limit depends only on the total trade size X 0 and not on the actual trading strategy itself. Thus, for a risk-neutral trader, the execution cost with continuous trading is a fixed number and any continuous strategy is as good as another. Consequently, the discrete-time model does not have a well-behaved continuous-time limit. 10 The intuition is that a trader can simply walk up the supply curve, and the speed of his trading is irrelevant. Without increasing the cost, the trader can choose to trade intensely at the very beginning and complete the whole order in an arbitrarily small period. For example, if the trader becomes slightly risk averse, he will choose to finish all the trades right at the beginning, irrespective of their price impact. 11 Such a situation is clearly undesirable and economically unreasonable. 4.3 A special case of our framework We can see the limitations of the conventional model by considering it as a special case of our framework. Indeed, we can specify the parameters in the LOB framework so that it will be equivalent to the conventional setting. First, we set the trading times at fixed intervals: , . Next, we make the following assumptions about the LOB dynamics as described in (5) and (9) : where the second equation simply states that the price impact coefficient in the LOB framework is set to be equal to its counterpart in the conventional setting. These restrictions imply the following dynamics for the LOB. As it follows from (10). after the trade x n at t n ( ), the ask price jumps from level to level . Since resilience is infinite, over the next period, ask price comes all the way down to the new steady state level of (assuming no fundamental shocks from t n to ). Thus, the dynamics of ask price is equivalent to the dynamics of in (15) . For the parameters in (18). the cost for trade is given in (13). which becomes which is the same as the trading cost in the conventional model (16). Thus, the conventional model is a special case of the LOB framework with the parameters in (18) . The main restrictive assumption we have to make to obtain the conventional setup is . This assumption means that the LOB always converges to its steady state before the next trading time. This is not crucial if the time between trades is held fixed. If the time between trades is allowed to shrink, this assumption becomes unrealistic. It takes time for the new limit orders to come in to fill up the book again. In reality, the shape of the limit order book after a trade depends on the flow of new orders as well as the time elapsed. As the time between trades shrinks to zero, the assumption of infinite recovery speed becomes less reasonable and gives rise to the problems in the continuous-time limit of the conventional model. 4.4 Temporary price impact This problem has led several authors to modify the conventional setting. He and Mamaysky (2005). for example, directly formulate the problem in continuous-time and impose fixed transaction costs to rule out any continuous trading strategies. Similar to the more general price impact function considered by Almgren and Chriss, 1999 and Almgren and Chriss, 2000 and Huberman and Stanzl (2005) proposes a temporary price impact of a particular form to penalize high-intensity continuous trading. Both of these modifications limit us to a subset of feasible strategies, which is in general sub-optimal. Given its closeness to our paper, we now briefly discuss the modification with a temporary price impact. Almgren and Chriss, 1999 and Almgren and Chriss, 2000 include a temporary component in the price impact function, which can depend on the trading interval . The temporary price impact gives additional flexibility in dealing with the continuous-time limit of the problem. In particular, they specify the following dynamics for the execution prices of trades: where is the same as given in (15). is the time between trades, and describes a temporary price impact and reflects temporary price deviations from equilibrium caused by trading. With and , the temporary price impact penalizes high trading volume per unit of time, . Using a linear form for , , it is easy to show that as N goes to infinity, the expected execution cost approaches to (e. g. Grinold and Kahn, 2000 Huberman and Stanzl, 2005 ). Clearly, with the temporary price impact, the optimal execution strategy has a continuous-time limit. In fact, it is very similar to its discrete-time counterpart: This strategy is deterministic and the trading intensity, defined by the limit of , is constant over time. 12 The temporary price impact reflects an important aspect of the market, namely, the difference between short-term and long-term supplydemand. If a trader speeds up his buy trades, as he can do in the continuous-time limit, he will deplete the short-term supply and increase the immediate cost for additional trades. As more time is allowed between trades, supply will gradually recover. However, as a heuristic modification, the temporary price impact does not provide an accurate and complete description of the supplydemand dynamics. This leads to several drawbacks. For example, the temporary price impact function in the form considered by Almgren and Chriss (2000) and Huberman and Stanzl (2005) rules out the possibility of discrete trades. This is not only artificial but also undesirable. As we show later, the optimal execution strategy generally involves both discrete and continuous trades. Moreover, introducing the temporary price impact does not capture the full dynamics of supplydemand. For example, two sets of trades close to each other in time versus far apart will generate different supplydemand dynamics, while in Huberman and Stanzl (2005) they lead to the same dynamics. Finally, simply specifying a particular form for the temporary price impact function says little about the underlying economic factors that determine it. 5 Discrete-time solution We now return to our general framework and solve for the optimal execution strategy. Suppose that trading times are fixed at , where and . We consider the corresponding strategies within the strategy set defined in Section 2. Using (3). (9). (10) and (14). the optimal execution problem is reduced to where F t follows a random walk. This problem can be solved using dynamic programming. Proposition 1 The solution to the optimal execution problem (20) is with and . The expected cost for future trades under the optimal strategy is determined according to The table reports values of optimal discrete trades x 0 and x T at the beginning and the end of the trading horizon and the intensity of continuous trades in between for an order of for different values of the LOB resilience parameter or the half-life of an LOB disturbance , which is defined as . The initial ask price is 100, the market depth is set at q 5,000 units, the (permanent) price-impact coefficient is set at , and the trading horizon is set at T 1 day, which is 6.5 hours (390 minutes). Table 2 reports the relative improvement in the expected net execution cost by the optimal execution strategy over the simple strategy of the conventional setting. Let us first consider the extreme case in which the resilience of the LOB is very small, e. g. and the half-life for the LOB to rebuild itself after being hit by a trade is 693.15 days. In this case, even though the optimal execution strategy looks very different from the simple execution strategy, as shown in Fig. 4. the improvement in execution cost is minuscule. This is not surprising as we know the execution cost becomes strategy independent when . For a modest value of , e. g. with a half life of 135 minutes (2 hours and 15 minutes), the improvement in execution cost ranges from 4.32 for to 11.92 for . When becomes large and the LOB becomes very resilient, e. g. and the half-life of LOB deviation is 0.90 minute, the improvement in execution cost becomes small again, with a maximum of 0.33 when . This is again expected as we know that the simple strategy is close to the optimal strategy when (as in this limit, the cost becomes strategy independent). Table 2. Cost savings by the optimal execution strategy from the simple trading strategy. Relative improvement in expected net execution cost is reported for different values of LOB resilience coefficient and the permanent price-impact coefficient . The order size is set at 100,000, the market depth is set at q 5,000, and the horizon for execution is set at T 1 day (equivalent of 390 minutes). Figura. 4. Optimal strategy versus simple strategy from the conventional models. The figure plots the time paths of remaining order to be executed for the optimal strategy (solid line) and the simple strategy obtained from the conventional models (dashed line), respectively. The order size is set at , the initial ask price is set at 100, the market depth is set at q 5,000 units, the (permanent) price-impact coefficient is set at , and the trading horizon is set at T 1 day, which is assumed to be 6.5 hours (390 minutes). Panels A, B, and C plot the strategies for and 1,000, respectively. Table 2 also reveals an interesting result. The relative savings in execution cost by the optimal execution strategy is the highest when , i. e. when the permanent price impact is zero. Of course, the magnitude of net execution cost becomes very small as goes to zero. 13 In order to see the difference between the optimal strategy and the simple strategy obtained in conventional settings, we compare their profiles X t in Fig. 4. The solid line shows the optimal execution strategy of the LOB framework and the dashed line shows the execution strategy of the conventional setting. Obviously, the difference between the two strategies are more significant for smaller values of . 8 Extensions We have used a parsimonious LOB model to analyze the impact of supplydynamics on optimal execution strategy. Obviously, the simple characteristics of the model does not reflect the richness in the LOB dynamics observed in the market. The framework we developed, however, is quite flexible to allow for extensions in various directions. In this section, we briefly discuss some of them. 8.1 Time varying LOB resilience Our model can easily incorporate time variation in LOB resilience. It has been documented that trading volume, order flows, and transaction costs all exhibit U-shaped intraday patterns. These variables are high at the opening of the trading day, then fall to lower levels during the day and finally rise again towards the close of a trading day. This suggests that the liquidity in the market may well vary over a trading day. Monch (2004) has attempted to incorporate such a time-variation in the conventional models. We can easily allow for deterministic time variation in LOB dynamics. In particular, we can allow the resilience coefficient to be time dependent, for . The results in Proposition 1. Proposition 2 and Proposition 3 still hold if we replace by , by , and by . 8.2 Different shapes for LOB We have considered a simple shape for the LOB described by a step function with the constant density of limit orders placed at various price levels. As shown in Section 3. this form of the LOB is consistent with the static linear price-impact function widely used in the literature. Although Huberman and Stanzl (2004) have provided theoretical arguments in support of the linear price impact functions, the empirical literature has suggested that the shape of the LOB can be more complex (e. g. Hopman, 2007 ). Addressing this issue, we can allow more general shapes of the LOB in our framework. This will also make the LOB dynamics more convoluted. As a trade eats away the tip of the LOB, we have to specify how the LOB converges to its steady state. With a complicated shape for the LOB, this convergence process can take many forms. Modeling more complex shapes of the LOB involves assumptions about the flow of new orders at a range of prices. Recently, Alfonsi, Schied, and Schulz (2009) extended our analysis to LOB with a general density of placed limit orders. Remarkably, the authors find a close-form solution for a broad class of limit-order books and show that the suggested optimal strategies are qualitatively similar to those derived for a block-shaped LOB. Their findings thus confirm the robustness of our results. 8.3 Risk aversion We have considered the optimal execution problem for a risk-neutral trader. We can extend our framework to consider the optimal execution problem for a risk-averse trader as well. For tractability, we assume that this trade has a mean-variance objective function with a risk-aversion coefficient of a . The optimization problem (30) now becomes with (9). (28) and (29). At time T . the trader is forced to buy all of the remaining order X T . This leads to the following boundary condition: Since the only source of uncertainty in (32) is F t and only the trades executed in interval will be subject to uncertainty in F t . we can rewrite this formula in a more convenient form: Proposition 4 gives the solution to the problem for a risk-averse trader: Proposition 4 The optimal execution strategy for the optimization problem (33) is The value function is determined by where . The coefficients are given by It can be shown that as the risk aversion coefficient a goes to 0, the coefficients , , and converge to those in Proposition 2 that were obtained for a risk-neutral trader. The nature of the execution strategy that is optimal for a risk-averse trader remains qualitatively similar to the strategy that is optimal for a risk-neutral trader. A risk-averse trader will place discrete trades at the beginning and at the end of trading period and trade continuously in between. The initial and final discrete trades are, however, of different magnitude. The more risk averse the trader is, the faster he wants to execute his order to avoid future uncertainty and the more aggressive orders he submits in the beginning. The effect of traders risk aversion a on the optimal trading profile is shown in Fig. 5. Figura. 5. Profiles of optimal strategies for different coefficients of risk aversion a . This figure shows the profiles of optimal execution policies X t for the traders with different coefficients of risk aversion a 0 (solid line), a 0.05 (dashed line), and a 0.5 (dashed-dotted line) and a 1 (dotted line), respectively. The variable X t indicates how much shares still has to be executed before trading at time t . The order size is set at , the market depth is set at q 5,000 units, the permanent price-impact coefficient is set at , the trading horizon is set at T 1, and the resilience coefficient is set at . 9 Conclusion In this paper, we examine how the limited elasticity of the supplydemand of a security affects trading behavior of market participants. Our main goal is to demonstrate the importance of supplydemand dynamics in determining optimal trading strategies. The execution of orders is usually not costless. The execution prices are different from pre-trade benchmarks, since implemented transactions consume liquidity and change the remaining supplydemand. The supplydemand schedule right after a transaction will be determined by its static properties. Furthermore, trades often trigger a complex evolution of supplydemand. Rather then being permanent, its initial changes may partially dissipate over time as liquidity providers step in and replenish liquidity. Thus, supplydemand represents a complex object in the marketplace that changes in response to executed trades. While designing trading strategies traders have to take into account a full dynamics of supplydemand since their transactions are often spread over time. In this paper, we focus on the optimal execution problem faced by a trader who wishes to execute a large order over a given period of time. We explicitly model supplydemand as a limit order book market. The shape of a limit-order book determines static properties of supplydemand such as bidask spread and price impact. The dynamics of a limit order book in response to trades determines its dynamic properties such as resilience. We are interested in how various aspects of liquidity influence trading strategies. We show that when trading times are chosen optimally, the resilience is the key factor in determining the optimal execution strategy. The strategy involves discrete trades as well as continuous trades, instead of merely continuous trades as in previous work that focuses only on price impact and spread. The intuition is that traders can use discrete orders to aggressively consume available liquidity and induce liquidity providers to step in and place new orders into the trading system, thus making the execution of future trades cheaper. The developed framework for supplydemand is based on the limit order book market for convenience. Our main conclusions remain applicable to any other market structures. The framework is fairly general to accommodate rich forms of supplydemand dynamics. It represents a convenient tool for those who wish to fine-tune their trading strategies to realistic dynamics of supplydemand in the marketplace. Appendix A A.1 Proof of Proposition 1 From (A.1). the dynamics of D t between trades will beOptimal Arbitrage Trading We consider the position management problem for an agent trading a mean - reverting asset. This problem arises in many statistical and fundamental arbitrage trading situations when the short-term returns on an asset are predictable but limited risk-bearing capacity does not allow to fully exploit this predictability. The model is rather simple it does not require any inputs apart from the parameters of the price process and agents relative risk aversion. However, the model reproduces some realistic patterns of traders behaviour. We use the Ornstein-Uhlenbeck process to model the price process and consider a finite horizon power utility agent. The dynamic programming approach yields a non-linear PDE. It is solved explicitly, and simple formulas for the value function and the optimal trading strategy are obtained. We use Monte-Carlo simulation to check for the effects of parameter misspecification. Se si verificano problemi durante il download di un file, controllare se si dispone l'applicazione corretta per vederlo prima. In caso di ulteriori problemi leggi le Idee Assistenza pagina. Si noti che questi file non sono sul sito IDEE. Si prega di essere paziente, come i file possono essere di grandi dimensioni. Find related papers by JEL classification: G14 - Financial Economics - - General Financial Markets - - - Information and Market Efficiency Event Studies Insider Trading C61 - Mathematical and Quantitative Methods - - Mathematical Methods Programming Models Mathematical and Simulation Modeling - - - Optimization Techniques Programming Models Dynamic Analysis References listed on IDEAS Please report citation or reference errors to. o. Se sei l'autore registrato del lavoro citato, accedere al RePEc Profilo dell'autore servizio. clicca sulle citazioni ed effettuare le regolazioni necessarie. Lakner, Peter, 1998. Optimal trading strategy for an investor: the case of partial information , Stochastic Processes and their Applications. Elsevier, vol. 76(1), pages 77-97, August. Full references (including those not matched with items on IDEAS)The CitEc project has not yet found citations to this item.